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单调栈 解题报告

PKU 2082 Terrible Sets

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题意：把矩形在x轴上排列好以后就是求最大内接子矩形的问题了。

HDU 2430 Beans

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题意：给定 $n(n<=10^6)$ 个数字 $a[i]$ 和两个数字 $K$ 和 $P(0<=P<K)$，要求求一个区间 $(i,j)$，使得区间和最大，并且区间里的数对 K 取模小于等于 P。求最大的 $sum(i,j)/K$。

• 题解：前缀和 + 单调栈
• 1）首先把所有的数求出前缀和以后对 $K$ 取模。得到前缀和数组 $sum[i]$ 代表前 $i$ 项的和（为了方便，下标从1开始）。
• 2）令区间 $(i,j)$ 的和模上 $K$ 的值是：$$M(i,j)=(sum[j]-sum[i-1])\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}K$$ 我们需要做的就是对于任意一个 $j$，要让 $i$ 的值尽量小（这样区间才能尽量长），并且 $M(i,j)<=P$。
• 3）枚举 $j$，然后转化成线段树找区间最值问题。

HDU 4252 A Famous City

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题意：给定一个直方图区域，问最少用多少的矩形能把这些区域填满。直方图的每个高度按照 $h[i](1<=i<=n)$ 的形式给出。 一种解决方案如下：答案为 8 。

• 题解：考虑如下三种情况：
• 1）如果整个图是单调递增的，即$h[i-1]<h[i]$，那么需要的矩形数就是不同高度的数目；
• 2）如果中间有一次出现 $h[i-1]>h[i]$，那么就要考虑 $h[i]$ 能否和之前出现过的相同高度合并（如上图橙色方柱所示）；
• 3）如果 $h[i-1]==h[i]$，那么 $h[i]$ 没有任何作用；
• 基于以上性质，用一个单调栈来维护一个单调递增序列，对 栈顶元素 $top$ 和 当前元素 $i$ 进行高度判定如下：
• 1）栈为空或者 $h[top]<h[i]$，如果 $h[i]>0$ 则入栈；
• 2）栈非空并且 $h[top]==h[i]$，不作处理；
• 3）栈非空并且 $h[top]>h[i]$，不断弹出元素，并且计数器累加；当栈为空或者出现 $h[top]<h[i]$，和 1）判定类似，$h[i]>0$ 则入栈；
• [ 注意：为了让所有元素都能出栈，元素末尾加入一个 -1]

PKU 2796 Feel Good

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题意：给定 $n$ 个数 $a[i](0<=a[i]<=10^6)$，令 $sum(i,j)={\sum }_{k=i}^{j}a[k]$，求 $sum(i,j)\ast mi{n}_a(i,j)$ 的最大值。

• 沿用 的思想，用单调栈维护一个单调不降序列，预处理前缀和。注意有 0 的情况，所以最先的候选最大值不能设定为 0，要定为小于零的数。

HDU 3410 Passing the Message

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题意：给定 $n$ 个数 $a[i](0<=a[i]<=10^5)$，求每个数左边比它小最大的数，以及每个数右边比它小最大的数。

• 题解：单调递减栈
• 两边分别扫描，然后维护一个单调递减的栈即可；

HDU 6759 Leading Robots

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题意：给定 $n(n<=50000)$ 个人的起始位置 $s$ 和加速度 $a$，每个人都做匀加速运动，问有多少个人能在某个时刻成为 “领头羊” （即没有任何人能与之比肩）。

• 需要考虑的几个思路：
• 1）每个人的位移曲线是一条相对于 $y$ 轴对称的抛物线，且只在第一象限；
• 2）任意两条抛物线要么重合，要么只可能存在一个交点，换言之，如果起始位置一开始落后，那么超越的唯一机会就是加速度比起始位置大于他的人都大；
• 3）起始位置相同的两个人，加速度小的那个永远没有机会成为 “领头羊”；
• 4）起始位置相同，加速度也相同的两个人都没有机会成为 “领头羊”；
• 对于两个人 $R_i$ 和 $R_j$，满足 $(s_i>s_j且a_i<a_j)$，则 $a_j$ 追上 $a_i$ 的时间为：$$t>=\sqrt{\frac{2(s_i-s_j)}{a_j-a_i}}$$
• 考虑三个人，$R_1=(s_1,a_1)，R_2=(s_2,a_2)，R_3=(s_3,a_3)$，并且满足$(s_1>s_2>s_3)$，$R_2$ 想要追上来的必要条件是 $(a_2>a_1)$，$R_3$ 想要追上来的条件是 $(a_3>max(a_1,a_2))$。但是这样还不够，试想一下，如果 $R_3$ 追上 $R_2$ 的时间早于 $R_2$ 追上 $R_1$ 的时间，那么 $R_2$ 就再也没有机会成为第一了。
• 那么，我们对于一个位置递减，加速度递增的序列，我们需要维护一个 “追上时间” 单调递增的序列；
• 算法设计如下：
• 1）首先对数据进行排序，按照起始位置作为第一关键字递减，位置相同则加速度递减；
• 2）对位置相同，加速度小元素直接去掉；对两个关键字都相同的元素进行哈希标记，不作为 “领头羊” 候选人；
• 3）对数据进行从前往后的扫描，记录当前加速度最大值为 $Ma{x}_a$，对于所有扫描到的加速度小于等于 $Ma{x}_a$ 的进行跳过处理，每次扫描完毕更新加速度最大值：
• 3.a）如果栈中小于两个元素，则入栈当前元素；
• 3.b）否则计算栈顶两个元素的 “追上时间” $t_{top}$，以及栈顶元素和当前元素的 “追上时间” $t_{cur}$，如果 $t_{top}>=t_{cur}$，则弹出栈顶元素， 计算完毕将当前元素入栈；
• 扫描完毕后，将所有栈顶元素出栈，并且没有被 哈希标记 的人就是能够在某个时刻成为 “领头羊” 的人；
• [ 注意：计算时间的时候 开方 + 除法 会引起精度误差，比较的时候可以转换成乘法来操作]

HDU 5033 Building

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题意：给定 $n(n<=10^5)$ 个建筑的 $x[i]$ 坐标和高度 $h[i]$，然后 $Q(Q<=10^5)$ 次询问，问在某个位置 $p$ 需要多少的仰角才能看到天空；

• 题解：离线算法 + 单调栈的斜率优化
• 对于任何一个 $p$ 都要考虑左右两边的情况，但是左右两边的情况处理起来是一样的，所以这里只考虑左边；然后进行逆序以后再算一次，再把两个和 x 轴的角度相加，用 180度 去减就行。那么有以下几个注意点：
• 1）对于某个 $p$ 位置，位于它左边的建筑，随着 $x$ 递增，$h$ 一定是单调递减的，不然肯定不会成为阻碍视角的最高仰角的那个建筑。
  
• 2）一旦出现三个高度单调递减的建筑，它们的形状组成一个下凹的形状，那么中间的那个建筑，一定是不可能成为阻碍视角的建筑，所以可以认为中间的建筑不存在（可以随便找个的坐标轴上的点往中间的建筑做连线，一定是交在第一个建筑或者第三个建筑上）；
  
• 3）于是对于建筑序列，我们只需要维护一个相邻建筑逐渐变陡峭的序列（表现在数值上就是斜率逐渐往负的方向越来越大），可以用单调栈来维护这个序列；
  
• 4）对于任意一个位置 $p$，现在要找到那个影响它视野的建筑，可以检查栈中的建筑，令栈顶两个建筑组成的斜率为 $K_{top}$，栈顶建筑和 $p$ 位置组成的斜率为 $K_p$，如果 $K_{top}<=K_p$（注意斜率恒为负） ，则出栈，继续判断；否则，即找到了那个阻碍它视野的建筑；
  

HDU 4923 Room and Moor

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题意：给定 $n(n<=100000)$ 个元素的序列 A，只由 0 和 1 组成，求一个非递减序列 B，满足如下条件：

• 题意：单调栈
• 首先把所有数分段拆成如下这样的段：111000, 11100, 110, 1111110，即都是有 1 开头， 0结尾，那么对于某一段，假设 1 的个数为 $a$，0 的个数为 $b$，令选择的的 $B_i=x$，则有差的平方和为：$$a(x-1{)}^2+b{x}^2$$ 利用抛物线的极值可以知道，当 $x=\frac{a}{a+b}$ 时取得最小值。
• 如果这样求出来的 $B_i$ 都能够单调不降，那么问题的解也就出来了；
• 当出现 $B_i>B_{i+1}$ 的时候，我们可以选择将 $B_i$ 和 $B_{i+1}$ 进行合并，用单调递增的栈来维护这个序列，知道栈中的元素都是单调递增位置。

PKU 3250 Bad Hair Day

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题意：$n(n<=10^5)$ 个人从左往右顺序排列，给定他们的高度 $h[i]$，，第 $i$ 个人往右看能够看到比他高度低的人的个数记为 $s[i]$，求 ${\sum }_{i=1}^{n}s[i]$。

• 我们考虑下图的两种情况：
• 1）如下图所示，当前的人编号为 $c$，$a$ 和 $b$ 呈逆序排列，那么 $a$ 和 $b$ 的解都是 $c$；
  
• 2）如下图所示，当前的人编号为 $c$，$a$ 和 $b$ 呈顺序排列（或者 a 和 b 高度相等），那么只有 $b$ 的解是 $c$；在这个问题中我们发现， 当求$b$ 的解时，$a$ 的解已经求出来了，不再需要；
  
• 把 $a$ 和 $b$ 理解成栈中的元素，我们首先在序列末尾插入一个无限大的数，然后维护一个单调递减的栈，从左往右枚举每个人的高度 $h[i]$，然后取 栈顶元素高度 和 当前高度 比较，如果 栈顶元素高度 <= 当前高度，代表栈顶的那个人能够看到的最远的人就是当前第 $i$ 个人，则累加答案，并且出栈，迭代循环处理，直到 栈顶元素高度 > 当前高度 或者 栈空，再将 $i$ 入栈；
• 如图，红色方柱为 $h[i]$，绿色方柱均为本次处理要出栈的元素，蓝色方柱为处理完还在栈中的元素，栈中元素始终保持单调递减。
  

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